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<!DOCTYPE html>

<title>Multivariate Verteilungsfunktion</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Multivariate Verteilungsfunktion</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>multivariate Verteilungsfunktion</b> ist eine <a href="Reellwertige_Funktion" title="Reellwertige Funktion">reellwertige Funktion</a> in der <a href="Stochastik" title="Stochastik">Stochastik</a>, die zur Untersuchung von <a href="Multivariate_Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung">multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen</a> und der Verteilung von <a href="Zufallsvektor" title="Zufallsvektor">Zufallsvektoren</a> herangezogen wird. Sie ist das höherdimensionale Pendant der <a href="Univariate_Verteilungsfunktion" class="mw-redirect" title="Univariate Verteilungsfunktion">univariaten Verteilungsfunktion</a> und erlangt wie diese ihre Bedeutung dadurch, dass sich nach dem <a href="Korrespondenzsatz_(Stochastik)" title="Korrespondenzsatz (Stochastik)">Korrespondenzsatz</a> die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig durch ihre multivariate Verteilungsfunktion charakterisieren lassen. Damit lässt sich die Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">maßtheoretischen Methoden</a> auf die leichter zugängliche Untersuchung von reellwertigen Funktionen mit Methoden der <a href="Mehrdimensionale_Analysis" class="mw-redirect" title="Mehrdimensionale Analysis">mehrdimensionalen reellen Analysis</a> reduzieren.

</p><p>Neben der Bezeichnung als multivariate Verteilungsfunktion findet sich auch <b>n-dimensionale Verteilungsfunktion</b>,<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> oder <b>mehrdimensionale Verteilungsfunktion</b> als Bezeichnung. Zu beachten ist, dass in der <a href="Ma%C3%9Ftheorie" title="Maßtheorie">Maßtheorie</a> der Begriff der Verteilungsfunktionen auch für unnormalisierte Verteilungsfunktionen verwendet wird.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notationen">Notationen</h2></div>

<p>Für Vektoren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x,y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x,y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea0abffd33a692ded22accc104515a032851dff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.519ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x,y}" loading="lazy"></span> aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> sind die Vergleichsoperationen komponentenweise zu verstehen, also

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\leq y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c07a0bc023490be1c08e6c33a9cdc93bec908224.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.584ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\leq y}" loading="lazy"></span> genau dann wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad6970aeb2cd95d4354f712786de89a75997c625.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.167ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}" loading="lazy"></span> für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0ca4f29c266187e3eb4950224e67a106c693c50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.9ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Des Weiteren sei für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c520ee2cb6ccf8a93c89a8c58a8378796bd52e53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.067ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span>

</p>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ,x]:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,y\leq x\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f0eb7a594c2a7760c28eae3046b7982216e3c09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.015ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ,x]:=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,y\leq x\}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>beziehungsweise über die Komponenten definiert

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (-\infty ,x]=(-\infty ,x_{1}]\times (-\infty ,x_{2}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/762888e64e21a5ffd23761c6e29e5dbd3a93a0e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.858ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (-\infty ,x]=(-\infty ,x_{1}]\times (-\infty ,x_{2}]\times \dots \times (-\infty ,x_{n}]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

<p>Mit den obigen Notationen überträgt sich die Definition der multivariaten Verteilungsfunktion im Wesentlichen direkt von der univariaten Verteilungsfunktion.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_über_ein_Wahrscheinlichkeitsmaß"><span id="Definition_.C3.BCber_ein_Wahrscheinlichkeitsma.C3.9F"></span>Definition über ein Wahrscheinlichkeitsmaß</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span> eine <a href="Multivariate_Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung">multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung</a>, also ein <a href="Wahrscheinlichkeitsma%C3%9F" title="Wahrscheinlichkeitsmaß">Wahrscheinlichkeitsmaß</a> auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/416b9d13fbe70cb15f0421e8ecd43fb664b1b2dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.989ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}" loading="lazy"></span>, so heißt die Funktion

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1bd6c1a12da3186f790be364cbd34fdda93bdad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.158ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>definiert durch

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{P}(x):=P((-\infty ,x])}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f54c179f4fb77c137bfca2333f6bf2cd3c051207.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.447ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{P}(x):=P((-\infty ,x])}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>die multivariate Verteilungsfunktion von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle P}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Definition_für_einen_Zufallsvektor"><span id="Definition_f.C3.BCr_einen_Zufallsvektor"></span>Definition für einen Zufallsvektor</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> ein <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-dimensionaler <a href="Zufallsvektor" title="Zufallsvektor">Zufallsvektor</a>, so heißt

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b5ba20f3c2bb3c61717baaf8ad0619a12097d967.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.324ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>definiert durch

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}(x):=P(X\leq x)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb9063020b957054a6c2260d0a01a13369abda93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.974ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{X}(x):=P(X\leq x)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>die multivariate Verteilungsfunktion von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span>. Die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors ist somit genau die multivariate Verteilungsfunktion der Verteilung des Zufallsvektors.

</p><p>Gängig ist auch die komponentenweise Definition als

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\dots ,X_{n}\leq x_{n})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8148b19144ccf679f6ffded87b5273479e2f32b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F_{X}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}):=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},\dots ,X_{n}\leq x_{n})}" loading="lazy"></span>,</dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})^{T}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})^{T}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a1a1e953c0f2eed56a5f45093b5b495d7933746.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.589ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})^{T}}" loading="lazy"></span> ist. Somit ist die multivariate Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors genau die <a href="Gemeinsame_Verteilungsfunktion" class="mw-redirect" title="Gemeinsame Verteilungsfunktion">gemeinsame Verteilungsfunktion</a> der Komponenten.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<p>Für jede Verteilungsfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=F_{P}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=F_{P}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc8735e68f39217d1e36295df3e13a7806eb0859.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.8ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle F=F_{P}}" loading="lazy"></span> gilt:

</p>

<ul><li><i>Rechtsstetigkeit</i>: sie ist in jeder ihrer Variablen <a href="Rechtsseitig_stetig" class="mw-redirect" title="Rechtsseitig stetig">rechtsseitig stetig</a></li>

<li><i>Rechtecksmonotonie</i>: Sie ist <a href="Rechtecksmonotone_Funktion" class="mw-redirect" title="Rechtecksmonotone Funktion">rechtecksmonoton</a>, das heißt, dass aus <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ec336383d3e045dc7576aaea686983941888223.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:11.063ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a\leq b\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta _{a}^{b}F\geq 0}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{a}^{b}F\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbbcf7dec046a1fe95350c45836ab7f7cc00abc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.039ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{a}^{b}F\geq 0}" loading="lazy"></span> folgt. Zur Schreibweise <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta _{a}^{b}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{a}^{b}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31fcb173a96d8842113656618e568069b97ba673.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.038ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{a}^{b}}" loading="lazy"></span> siehe <a href="Differenz-Operator" title="Differenz-Operator">Differenz-Operator</a>.</li>

<li><i>Normalisierung</i>:</li></ul>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x_{1},\dots ,x_{n}\to +\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})&=1\\\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})&=0,\quad \forall i=1,\dots ,n\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5896f59324abadfe8af0adb97aa66955a50ef45f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:46.427ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x_{1},\dots ,x_{n}\to +\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})&=1\\\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\dots ,x_{n})&=0,\quad \forall i=1,\dots ,n\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Umgekehrt gilt nach der multivariaten Version des <a href="Korrespondenzsatz_(Stochastik)" title="Korrespondenzsatz (Stochastik)">Korrespondenzsatzes</a> (welcher aus dem <a href="Ma%C3%9Ferweiterungssatz_von_Carath%C3%A9odory" title="Maßerweiterungssatz von Carathéodory">Maßerweiterungssatz von Carathéodory</a> folgt), dass jede Funktion, welche die obigen Bedingungen erfüllt, Verteilungsfunktion eines eindeutig bestimmten multivariaten Wahrscheinlichkeitsmaßes ist.

</p><p>Für die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle j}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle j}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f461e54f5c093e92a55547b9764291390f0b5d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.027ex; width:0.985ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle j}" loading="lazy"></span>-te Randverteilungsfunktion gilt

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

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</mrow>

</munder>

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</mrow>

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</mrow>

</munder>

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</mrow>

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</mrow>

</munder>

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</mrow>

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</msub>

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</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{j}(x_{j})=\lim _{x_{1}\to \infty }\dots \lim _{x_{j-1}\to \infty }\lim _{x_{j+1}\to \infty }\dots \lim _{x_{n}\to \infty }F(x_{1},\dots ,x_{j-1},x_{j},x_{j+1},\dots ,x_{n})\quad {\text{für alle }}x_{j}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17c05f45d7f73ceb93d2e2ee964e0f2afc041337.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:89.459ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle F_{j}(x_{j})=\lim _{x_{1}\to \infty }\dots \lim _{x_{j-1}\to \infty }\lim _{x_{j+1}\to \infty }\dots \lim _{x_{n}\to \infty }F(x_{1},\dots ,x_{j-1},x_{j},x_{j+1},\dots ,x_{n})\quad {\text{für alle }}x_{j}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-dimensionaler <a href="Zufallsvektor" title="Zufallsvektor">Zufallsvektor</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"></span> heißt stetig verteilt, falls es eine integrierbare Dichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{X}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{X}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17fd6605a04f97c6bedb0a9632f9f023cb18dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.772ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f_{X}}" loading="lazy"></span> gibt, sodass für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e7f2af1b0157e7e1a241ea2b4345853bd437f86.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.085ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"></span> und eine messbare Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc6a945d61655e9953edff3d6b76d1ba7199cb62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.408ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle f_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}" loading="lazy"></span>

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F_{X}(x)=\int \limits _{(-\infty ,x]}f_{X}(t)\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x_{1}}\dots \int _{-\infty }^{x_{n}}f_{X}(t_{1},\dots ,t_{n})\mathrm {d} t_{1}\dots \mathrm {d} t_{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/414e6512140d9b5534ab07140c966e0fa3b1d84f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:61.933ex; height:8.009ex;" alt="{\displaystyle F_{X}(x)=\int \limits _{(-\infty ,x]}f_{X}(t)\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x_{1}}\dots \int _{-\infty }^{x_{n}}f_{X}(t_{1},\dots ,t_{n})\mathrm {d} t_{1}\dots \mathrm {d} t_{n}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>gilt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Copula_(Mathematik)" title="Copula (Mathematik)">Copula (Mathematik)</a></li>

<li><a href="Randverteilung" title="Randverteilung">Randverteilung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>David Meintrup, Stefan Schäffler: <cite style="font-style:italic">Stochastik</cite>. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/b137972">10.1007/b137972</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Multivariate+Verteilungsfunktion&rft.au=David+Meintrup%2C+Stefan+Sch%C3%A4ffler&rft.btitle=Stochastik&rft.date=2005&rft.doi=10.1007%2Fb137972&rft.genre=book&rft.isbn=9783540216766&rft.place=Berlin+Heidelberg+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Norbert Kusolitsch: <cite style="font-style:italic">Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie</cite>. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-45387-8">10.1007/978-3-642-45387-8</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Multivariate+Verteilungsfunktion&rft.au=Norbert+Kusolitsch&rft.btitle=Ma%C3%9F-+und+Wahrscheinlichkeitstheorie&rft.date=2014&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-45387-8&rft.edition=2.%2C+%C3%BCberarbeitete+und+erweiterte&rft.genre=book&rft.isbn=9783642453861&rft.place=Berlin+Heidelberg&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></li>

<li>Klaus D. Schmidt: <cite style="font-style:italic">Maß und Wahrscheinlichkeit</cite>. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-21026-6">10.1007/978-3-642-21026-6</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Multivariate+Verteilungsfunktion&rft.au=Klaus+D.+Schmidt&rft.btitle=Ma%C3%9F+und+Wahrscheinlichkeit&rft.date=2011&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-21026-6&rft.edition=2.%2C+durchgesehene&rft.genre=book&rft.isbn=9783642210259&rft.place=Heidelberg+Dordrecht+London+New+York&rft.pub=Springer-Verlag" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"> Meintrup, Schäffler: <i>Stochastik.</i> 2005, S. 107. </span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text"> Kusolitsch: <i>Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie.</i> 2014, S. 74–75. </span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>